Náttúran

Örðugustu gátur stærðfræðinnar

Bandarísk stofnun hefur heitið einni milljón dala í verðlaun fyrir lausn á hverri af sjö helstu gátum stærðfræðinnar. Nú lítur út fyrir að sérvitrum Rússa hafi tekist að leysa eina þá erfiðistu.

BIRT: 04/11/2014

Vorið 1904 gekk hinn snjalli franski stærðfræðingur Henri Poincaré um og gruflaði í vandamáli sem hann fann enga lausn á. Það fólst í að lýsa eiginleikum rúmfræðilegra forma í æðri víddum. Poincaré hafði hugmynd um hvernig formin myndu verða en gat ekki sannað það.

 

Þess vegna setti hann fram svonefnda tilgátu Poincarés, sem hefur síðan orðið ein helsta gáta stærðfræðinnar.

 

Ótal stærðfræðingar hafa brotið heilann – og þolinmæði fjölskyldunnar – í leitinni að svarinu við þessari frægu tilgátu. Reyndar er talað um heilkennið Poincaritis meðal fagmanna, sem ástand þeirra er ekki geta slitið sig frá vandamálinu.

 

Nú bendir margt til að leitinni sé loks lokið. Árið 2002 kom rússnenski stærðfræðingurinn Grigori Perelman með lausn á vandamálinu. Hann setti lausnina ekki fram í grein í vísindatímariti, sem annars er vaninn, heldur lagði fram þrjár greinagerðir út á Netið.

 

Perelman fylgdi þessu eftir með fyrirlestrarferð í Bandaríkjunum, en síðan hefur harla lítið heyrst frá honum. Á meðan hafa bestu stærðfræðingar heims grannskoðað flókna sönnunarfærslu Perelmans og nú þegar hafa komið fram meira en eittþúsund síður þéttritaðar umsögnum og útreikningum.

 

Og niðurstaðan er að svar Rússans er í raun gott og gilt.

 

Með framtaki sínu getur Perelmann gert tilkall til verðlauna sem nema einni milljón dölum. Bandaríska stofnunin Clay Mathematics Institute hefur heitið slíkum verðlaunum fyrir hverja lausn á sjö sígildum gátu stærðfræðinnar.

 

Perelman hefur bara engan áhuga. Áður hefur hann afþakað Fields – verðlaunin sem innan stærðfræðinnar jafngilda Nóbelsverðlaununum. Óvíst er hvaða ástæður liggja að baki ákvörðun Perelmanns en mögulega tengist það óánægju hans með þau siðferðisviðmið er ríkja í heimi stærðfræðinnar.

 

Snillingur hafnar metorði

Annars á hann sannarlega allan heiður skilinn. Aðeins sextán ára gamall vann Perelman til gullverðlauna í ólympísku stærðfræðikeppninni og náði þar hámarksárangri. Síðan hefur hann átt frábæran starfsferil, sem endaði með lausn hans á tilgátu Poincarés eftir sjö ára þrotlaust starf.

 

En eftir þessa frábæru framistöðu hefur Grigori Perelmann dregið sig úr sviðsljósinu. Sagt er að hann noti tíma sinn nú í gönguferðir í nágrenni St. Pétursborgar, þar sem hann býr í lítilli íbúð með móður sinni.

 

Hann er lítið gefinn fyrir að koma fram opinberlega og hefur sagt: „Ég tel ekki að nokkuð af því sem ég segi sé áhugavert fyrir opinbera aðila.“ Hafi Rússinn í raun og veru ákveðið að leggja stærðfræðina á hilluna hafa vísindin glatað einum snjallasta manni sínum. Þó er einnig mögulegt að hann hafi einangrað sig til að kljást við enn eina stærðfræðiþrautina.

 

Þrátt fyrir að Perelman sé úr myndinni verður tilgáta Poincarés nú að teljast leyst. Eftir standa aðrar sex gátur, sumar þeirra meira en 100 ára gamlar.

 

Allar eiga þær sameiginlegt að vera harla snúnar. Það eitt að skilja spurningarnar getur reynst erfitt fyrir leika, og jafnvel lærðustu stærðfræðingar eiga erfitt með að finna svörin. Sumar gáturnar eru ansi ergilegar.

 

Sönnunin getur virst innan seilingar, en er það ekki. Sem dæmi varðar Rieman – tilgátan dreifingu prímtalna (tölur sem einungis er hægt að deila í með einum og þeim sjálfum, sem dæmi 5 og 7).

 

Tilgátan hefur verið sannreynd fyrir fyrsta einn og hálfan milljarð lausna í tiltekinni jöfnu með góðum árangri. En það er erfðiðara að sanna að þetta gildi um allar prímtölur og sönnun er nauðsynleg, því stærðfræðin hefur að geyma fjölmörg dæmi um mynstur sem virðast vera regluleg en síðan koma skyndilega fram frávik.

 

Evklíð ruddi brautina

Sannanir hafa alltaf gengt mikilvægu hlutverki í stærðfræðinni, því þær geta skorið úr um ýmis ágreiningsefni. Þær eiga sér merka sögu. Grikkir fornaldar voru hinir fyrstu til að gera sér grein fyrir mikilvægi þeirra.

 

Þrátt fyrir að fræði þeirra hafi ekki öll staðist tímanns tönn, gegnir öðru máli um uppgötvanir innan stærðfræðinnar.

 

Gott dæmi er ein frægasta sönnun Evklíðs sem varðar prímtölur. Fyrir meira en 2300 árum sannaði Evklíð að til er óendanlegur fjöldi prímtalna.

 

Sönnunin er fallega einföld: ef maður ímyndar sér að einhver segist búa yfir lista með öllum prímtölum, getur maður ætíð sannað að það skorti eina. Maður tekur nefnilega allar prímtölur listans, margfaldar þær saman og bætir 1 við.

 

Niðurstöðuna er ekki hægt að deila í með nokkurri tölu úr listanum því það verður ævinlega 1 í afgang. Þetta þýðir að hin nýja tala hlýtur að vera prímtala.

 

Niðurstaðan er því að einu má gilda hversu margar prímtölur finnast, þær hljóta alltaf að vera fleiri og því hlýtur fjöldi þeirra að vera óendanlegur.

 

Sönnun Evklíðs er algerlega pottþétt og það þarf ekkert nema heilbrigða skynsemi til að skilja hana. Sú er sjaldnast raunin með stærðfræði nútímans.

 

Jafnvel eftir þriggja ára vinnu geta sumir af fremstu stærðfræðingum heims ekki kveðið úr um með fullri vissu hvort sönnun Perelmans sé rétt og þetta er hreint ekki óvanalegt.

 

Stærðfræði er orðin svo flókin nú á dögum að það ríkir oft óvissa um sannanir. Árið 1982 varð opinberuð sönnun um að unnt sé að gera kerfi til greininga á svonefndum endanlegum einföldum grúpum, eins konar lotukerfi fyrir stærðfræðilegar samhverfur. Sönnuninni fylgdi meira en 10 þúsund síður. Undir lok síðustu aldar kom í ljós að hún var ekki tæmandi. Hún var síðan betrumbætt árið 2004 og viðbæturnar einar voru tólf hundruð blaðsíður.

 

Í ljósi þess er engin trygging fyrir því að allar þær gátur sem Clay Mathematics Institute veitir verðlaunum fyrir verði nokkru sinni leystar – eða að þær séu leysanlegar.

 

Áður en Perelmann lagði fram greinagerðir sínar ríkti einnig vafi á hvort hægt væri að sanna tilgátu Poincarés. Bruce Kleine við Yale University sem hefur eytt þremur árum í að kanna lausnina, sagði: „Það gæti gerst innan 100 ára – eða aldrei.“

 

En svo virðist sem Grigory Perelmann hafi tekist þetta. Og fordæmi hans veitir öðrum stærðfræðingum haldbetri vonir um að leysa megi fleiri gátur. En þrátt fyrir að Perelmann hafi komið með mótefni gegn poincaritis – heilkenninu, er ennþá fullt af vandamálasýklum stærðfræðinnar sem geta smitað mann.

 

Náttúran

Hvaða rándýr étur flest fólk?

Heilsa

Er flotsaur til marks um góða heilsu?

Heilsa

Er flotsaur til marks um góða heilsu?

Náttúran

Hvernig veit fræ að það eigi að spíra? 

Náttúran

Hvernig veit fræ að það eigi að spíra? 

Heilsa

Breytingarnar á líkamsþyngd geta leitt í ljós hættu á heilabilun

Náttúran

8 uppfinningar sem þú getur þakkað Einstein fyrir

Náttúran

Að klóna risaeðlur: Er hægt að vekja risaeðlur til lífsins?

NÝJASTA NÝTT

Lifandi Saga

Hermaður sá heiminn á hvolfi eftir heilaskaða

Alheimurinn

Eitilhörð samkeppni um að leysa ráðgátur sólkerfisins

Læknisfræði

Soðnir kettir læknuðu nánast allt á miðöldum

Tækni

Eru eineggja tvíburar erfðafræðilega eins?

Alheimurinn

Mistök geta verið banvæn fyrir geimfara 

Náttúran

Kisulóra er villiköttur

Lifandi Saga

Greitt fyrir Pepsi-Cola með sovéskum kafbátum

Heilsa

10 matvæli með meira C-vítamín en appelsínur

Maðurinn

Þráhyggja tekur heilann í gíslingu

Saga

Af hverju ráða Bandaríkin yfir Guantanamo?

Lifandi Saga

Hermaður sá heiminn á hvolfi eftir heilaskaða

Alheimurinn

Eitilhörð samkeppni um að leysa ráðgátur sólkerfisins

Læknisfræði

Soðnir kettir læknuðu nánast allt á miðöldum

Tækni

Eru eineggja tvíburar erfðafræðilega eins?

Alheimurinn

Mistök geta verið banvæn fyrir geimfara 

Náttúran

Kisulóra er villiköttur

Lifandi Saga

Greitt fyrir Pepsi-Cola með sovéskum kafbátum

Heilsa

10 matvæli með meira C-vítamín en appelsínur

Maðurinn

Þráhyggja tekur heilann í gíslingu

Saga

Af hverju ráða Bandaríkin yfir Guantanamo?

Fáðu aðgang að vÍSINDI.IS

Ókeypis í 2 vikur!

 

Eftir það kostar eingöngu 1.390 kr. á mánuði og enginn uppsagnarfrestur.

 

Innifalið er aðgangur að öllum greinum á vefnum ásamt rafræna útgáfu af nýjustu tölublöðunum.

  • Fullur aðgangur að visindi.is
  • Frábærar myndir og myndbönd
  • Aðgengilegt í öllum snjalltækjum
  • Fullur aðgangur að gríðarlegu magni eldri greina
  • Nýjustu tölublöðin í rafrænu formi

Alheimurinn

Hvað er andefni?

Alheimurinn

Hvað er andefni?

Maðurinn

Þess vegna tekur ástarsorg svona mikið á okkur

Maðurinn

Þess vegna tekur ástarsorg svona mikið á okkur

Maðurinn

Heilann þyrstir í fitu

Maðurinn

Er það skaðlegt að plokka nefhárin?

Lifandi Saga

Hve lengi höfum við fengið sumarfrí?

Jörðin

Vísindamenn greina vaxtarverki: Fæðuhringur eldfjallsins

Vinsælast

1

Heilsa

Breytingarnar á líkamsþyngd geta leitt í ljós hættu á heilabilun

2

Heilsa

Er flotsaur til marks um góða heilsu?

3

Náttúran

8 uppfinningar sem þú getur þakkað Einstein fyrir

4

Náttúran

Hvaða rándýr étur flest fólk?

5

Tækni

Eru eineggja tvíburar erfðafræðilega eins?

6

Náttúran

Að klóna risaeðlur: Er hægt að vekja risaeðlur til lífsins?

1

Heilsa

Er flotsaur til marks um góða heilsu?

2

Náttúran

Hvaða rándýr étur flest fólk?

3

Tækni

Eru eineggja tvíburar erfðafræðilega eins?

4

Maðurinn

Með skönnun má spá fyrir um þunglyndi

5

Maðurinn

Samfélagsmiðlar ógna samkenndinni

6

Maðurinn

Af hverju sjá sumir drauga en aðrir ekki?

Náttúran

Hjarta steypireyðar slær bara tvisvar á mínútu

Menning

Hvers vegna varð kvikmyndin „Casablanca“ svona vinsæl?

Maðurinn

Einvígið: Er rafmagnstannbursti betri en venjulegur?

Maðurinn

Getur dáleiðslan komið í stað fyrir lyf? 

Jörðin

Evrópsk ofureldstöð virðist undirbúa gos

Maðurinn

10 óvanalegar tegundir af fælni

Náttúran

Loftslagsfyrirbrigði gæti aukið bráðnun í norðri

Maðurinn

Mjúki maðurinn gengur í arf

Maðurinn

Nátthrafnar deyja fyrr en morgunhanar. En ástæðan kemur á óvart.

Alheimurinn

NASA: 50 metra stór loftsteinn getur skollið á jörðina árið 2046

Heilsa

Kynin bregðast ekki eins við yfirvofandi áfalli

Maðurinn

Í fyrsta sinn: Vísindamenn leiða í ljós hvað gerist í heilanum þegar við deyjum

Hermaður sá heiminn á hvolfi eftir heilaskaða

Í spænsku borgarastyrjöldinni lifði hermaður nokkur það af, líkt og fyrir kraftaverk, að fá byssukúlu gegnum heilann. Eftir þetta gat hermaðurinn lesið dagblöðin á hvolfi. Atburðurinn veitti vísindamönnum nýja innsýn í starfsemi heilans.

Lifandi Saga

ÁSKRIFT AÐ VÍSINDI.IS

Prófaðu í 14 daga ókeypis!

  • Fullur aðgangur að vefnum okkar með tæplega 3000 skemmtilegum og spennandi greinum um allt milli himins og jarðar á sviði vísinda og sögu.
  • Lifandi vísindi/Lifandi saga í rafrænni útgáfu á vefnum,
  • Aðeins 1.690 krónur á mánuði.
  • Engin skuldbinding – Þú getur hætt hvenær sem er.

ÁSKRIFT AÐ TÍMARITINU

Þrjú tölublöð + gjöf: Skemmtilegur sjónauki
  • Þrjú næstu tölublöð Lifandi vísinda/Lifandi sögu – sent heim til þín – eins færðu lítinn og vandaðan sjónauka að gjöf.
  • Fullur aðgangur að vefnum okkar – visindi.is – með tæplega 3000 skemmtilegum og spennandi greinum um allt milli himins og jarðar á sviði vísinda og sögu.
  • Spennandi greinar og flottar myndir sem svala forvitni þinni.
  • Þú getur hætt eftir tilboðið en ef þú heldur áfram skuldbindur þú þig aðeins þrjú tölublöð í einu og þú getur sagt upp hvenær sem sem og klárar þá tímabilið sem er hafið.
  • Venjuleg áskrift – þrjú tölublöð – kostar aðeins 7.590 kr

Sjónauki og þriggja blaða áskrift – Alls 3.800 kr.

Lifandi vísindi

Lyf

Lifandi saga

Search

Ertu áskrifandi að tímaritinu?

Áskrifendur að tímaritinu geta fengið frían aðgang að vefnum hér.

Innskráning

Ertu áskrifandi að tímaritinu?

Áskrifendur að tímaritinu geta fengið frían aðgang að vefnum hér.

Viltu lesa greinina?

Fáðu aðgang að visindi.is

Ókeypis í 2 vikur!

Eftir það kostar eingöngu 1.390 kr. á mánuði og enginn uppsagnarfrestur.

Innifalið er aðgangur að öllum greinum á vefnum ásamt rafræna útgáfu af nýjustu tölublöðunum.

  • Fullur aðgangur að visindi.is
  • Frábærar myndir og myndbönd
  • Aðgengilegt í öllum snjalltækjum
  • Fullur aðgangur að gríðarlegu magni eldri greina
  • Nýjustu tölublöðin í rafrænu formi

Núverandi áskrifendur að tímaritinu fá að sjálfsögðu ókeypis aðgang að vefnum og þurfa bara að virkja aðgang sinn hér.

Ef þú ert þegar áskrifandi að visindi.is